音律の誕生-ピタゴラス音律

ピタゴラス学派は万物の根源は数であると考え、音にも何らかの数学的規則が存在すると考えていました。
この規則を見出すために同じ長さ、同じ材質、同じ張力の2本の弦を準備し、一方の長さを変えながら同時に2本の弦を鳴らして、2本の弦が最も調和して響く長さを調べていきました。一番調和するのは弦の長さが半分の時、すなわち周波数が倍(1オクターブ上の音)になったときで、次に調和するのは弦の長さが \frac{2}{3} になった時でした。 \frac{2}{3} は素数の中で最も小さい2とそれに次ぐ3で作られた、極めて単純な数字であることから、この数字を基本に規則を組み立てていくことにしたのです。基本となる弦の長さを1とすると、

  • 1回目
    \frac{1}{1} \times \frac{2}{3} =\frac{2}{3}
  • 2回目
     \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} =\frac{4}{9}
    この弦の長さは一オクターブより短いので長さを倍にしてオクターブ内に収める。
     \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{1}=\frac{8}{9}
  • 3回目
     \frac{8}{9} \times \frac{2}{3} =\frac{16}{27}

まとめると以下の式ができあがります。

 \frac{{2}^{a}}{{3}^{b}} \times \frac{{2}^{1}}{{3}^{1}} \times \frac{{2}^{c}}{1} =\frac{{2}^{(a+1+c)}}{{3}^{(b+1)}}

前回の計算結果×固定値×補正値=計算結果
(修正値は前二者の積が0.5以上ならc=0、以下ならc=1)

この計算を繰り返していくと以下の表の結果が得られます。

順番 数式 計算結果 弦の長さ 音名
1  \frac{{2}^{0}}{{3}^{0}}  \frac{{2}^{0}}{{3}^{0}} = \frac{1}{1} 1.000 C
2  \frac{{2}^{0}}{{3}^{0}} \times \frac{2}{3} \times \frac{{2}^{0}}{1}  \frac{{2}^{1}}{{3}^{1}} = \frac{2}{3} 0.667 G
3  \frac{{2}^{1}}{{3}^{1}} \times \frac{2}{3} \times \frac{{2}^{1}}{1}  \frac{{2}^{3}}{{3}^{2}} = \frac{8}{9} 0.889 D
4  \frac{{2}^{3}}{{3}^{2}} \times \frac{2}{3} \times \frac{{2}^{0}}{1}  \frac{{2}^{4}}{{3}^{3}} = \frac{16}{27} 0.593 A
5  \frac{{2}^{4}}{{3}^{3}} \times \frac{2}{3} \times \frac{{2}^{1}}{1}  \frac{{2}^{6}}{{3}^{4}} = \frac{64}{81} 0.790 E
6  \frac{{2}^{6}}{{3}^{4}} \times \frac{2}{3} \times \frac{{2}^{0}}{1}  \frac{{2}^{7}}{{3}^{5}} = \frac{128}{243} 0.527 B
7  \frac{{2}^{7}}{{3}^{5}} \times \frac{2}{3} \times \frac{{2}^{1}}{1}  \frac{{2}^{9}}{{3}^{6}} = \frac{512}{729} 0.702 F#
8  \frac{{2}^{9}}{{3}^{6}} \times \frac{2}{3} \times \frac{{2}^{1}}{1}  \frac{{2}^{11}}{{3}^{7}} = \frac{2048}{2187} 0.936 C#
9  \frac{{2}^{11}}{{3}^{7}} \times \frac{2}{3} \times \frac{{2}^{0}}{1}  \frac{{2}^{12}}{{3}^{8}} = \frac{4096}{6561} 0.624 G#
10  \frac{{2}^{12}}{{3}^{8}} \times \frac{2}{3} \times \frac{{2}^{1}}{1}  \frac{{2}^{14}}{{3}^{9}} = \frac{16384}{19683} 0.832 D#
11  \frac{{2}^{14}}{{3}^{9}} \times \frac{2}{3} \times \frac{{2}^{0}}{1}  \frac{{2}^{15}}{{3}^{10}} = \frac{32768}{59049} 0.555 A#
12  \frac{{2}^{15}}{{3}^{10}} \times \frac{2}{3} \times \frac{{2}^{1}}{1}  \frac{{2}^{17}}{{3}^{11}} = \frac{131072}{177147} 0.740 F
13  \frac{{2}^{17}}{{3}^{11}} \times \frac{2}{3} \times \frac{{2}^{0}}{1}  \frac{{2}^{18}}{{3}^{12}} = \frac{262144}{531441} 0.493 C

13回目に最初の音の(ほぼ)1オクターブ上の音が現れたことから、1オクターブは12の音に分割されることになりました。
 \frac{2}{3} の弦の振動数は元の弦の \frac{3}{2} = 1.5倍となり、現代の用語では完全5度の音になりますので、ピタゴラス音律は結果的に完全5度(半音8個上)の音を順番に並べたものと言い換えることができます。

Oct. C C# D D# E F F# G G# A A# B
0 1 2
1 3 4
2 5 6
3 7
4 8 9
5 10 11
6 12
C C# D D# E F F# G G# A A# B

上の表をみてみると連続した7つの音は2番目の音を主音とした長音階に含まれる音が並んでおり、それ以外の音はその音階における半音になっていることが判ります。12番目の音(F)から始まる7音(上記の黄色の部分)の2番目の音はCであり、連続する7つの音はF/C/G/D/A/E/B、それ以外の音はF#/C#/G#/D#/A#となっていて、それぞれハ長調(C)の構成音(長音階と半音)になっています。
このピタゴラス音律はピアノの鍵盤構成などにも反映され、その後の音律研究に極めて大きな影響を及ぼすことになりました。

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